Моделирование решения акустической обратной задачи рассеяния для трехмерной нестационарной среды

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается обратная задача акустического зондирования трехмерной нестационарной среды, основанная на задаче Коши для волнового уравнения с коэффициентом скорости звука, зависящим от пространственных координат и времени. Данными в обратной задаче являются измерения акустического давления, зависящего от времени, в некоторой пространственной области. По этим данным необходимо определить меняющиеся со временем положения локальных акустических неоднородностей (пространственных распределений скорости звука). Используется специальная идеализированная модель зондирования, в которой, в частности, предполагается, что пространственное распределение скорости звука мало меняется в промежутке между временными импульсами источника. В рамках такой модели обратная задача сводится к решению для каждого временного отрезка зондирования трехмерных линейных интегральных уравнений Фредгольма. По этим решениям вычисляются пространственные распределения скорости звука на каждом временном интервале зондирования. При включении в схему зондирования специальной (плоскослойной) геометрической схемы расположения областей наблюдения и зондирования, оказывается, что обратную задачу можно свести к решению систем одномерных линейных интегральных уравнений Фредгольма, для решения которых используются известные методы регуляризации некорректных задач. Это позволяет решать трехмерную обратную задачу определения нестационарного распределения скорости звука в зондируемой среде на персональном компьютере средней производительности для достаточно подробных пространственных сеток за несколько минут. Эффективность соответствующего алгоритма решения трехмерной нестационарной обратной задачи зондирования в случае движущихся локальных акустических неоднородностей иллюстрируется решением ряда модельных задач.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

А. Б. Бакушинский

Институт системного анализа ФИЦ ИУ РАН; Марийский государственный университет

Email: asleonov@mephi.ru
Россия, 117312, Москва, пр-т 60-летия Октября, 9; 424000, Республика Марий Эл, Йошкар-Ола, пл. Ленина, 1

А. С. Леонов

Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”

Автор, ответственный за переписку.
Email: asleonov@mephi.ru
Россия, 115409, Москва, Каширское ш., 31

Список литературы

  1. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. М.: Государственное издательство технико-математической литературы, 1953.
  2. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
  3. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. CRC Press, 2000.
  4. Лаврентьев М.М. Об одной обратной задаче для волнового уравнения // Докл. Акад. наук СССР. 1964. Т. 157. № 3. С. 520–521.
  5. Аниконов Ю.Е. Теорема единственности решения обратной задачи для волнового уравнения // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 2. С. 211–214.
  6. Бухгейм А.Л., Яхно В.Г. О двух обратных задачах для дифференциальных уравнений // Докл. Акад. Наук СССР. 1976. Т. 229. № 4. С. 785–786.
  7. Ramm A.G. Multidimensional Inverse Scattering Problems. Pitman Monogr. Surv. Pure Appl. Math. 51. Harlow: Longman Scientific & Technical, 1992.
  8. Beilina L., Klibanov M.V. Approximate Global Convergence and Adaptivity for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012.
  9. Kabanikhin S.I., Satybaev A.D., Shishlenin M.A. Direct Methods of Solving Multidimensional Inverse Hyperbolic Problems. Utrecht: VSP, 2004.
  10. Belishev M.I. Recent progress in the boundary control method // Inverse Problems. 2007. V. 23. № 5. P. 1–67.
  11. Пестов Л.Н., Болгова В.М., Данилин А.Н. Численная реконструкция трехмерной скорости звука методом граничного управления // Вестн. Югорского государственного ун-та. 2011. Вып. 3. С. 92–98.
  12. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. 2nd ed. Appl. Math. Sci. 93. Berlin: Springer, 1998.
  13. Горюнов А.А., Сасковец А.В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1989.
  14. Буров В.А., Румянцева О.Д. Обратные волновые задачи акустической томографии. Часть 2. Обратные задачи акустического рассеяния. М.: ЛЕНАНД, 2020.
  15. Bakushinsky А., Goncharsky А. Ill-Posed Problems: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994.
  16. Bakushinsky A.B., Kokurin M.Yu. Iterative methods for approximate solution of inverse problems. Mathematics and Its Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2004.
  17. Гончарский А.В., Романов С.Ю. О двух подходах к решению коэффициентных обратных задач для волновых уравнений // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. Т. 52. № 2. С. 263–269.
  18. Гончарский А.В., Романов С.Ю. Суперкомпьютерные технологии в разработке методов решения обратных задач в УЗИ-томографии // Вычисл. методы и программирование: новые вычисл. технологии. 2012. Т. 13. № 1. С. 235–238.
  19. Евстигнеев Р.О., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г., Цупак А.А. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии // Изв. выс. учеб. завед. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2017. T. 44. № 4. С. 3–17.
  20. Новиков P.Г. Восстановление двумерного оператора Шредингера по амплитуде рассеяния при фиксированной энергии // Функцион. анализ и его прил. 1986. Т. 20. № 3. С. 90–91.
  21. Буров В.А., Алексеенко Н.В., Румянцева О.Д. Многочастотное обобщение алгоритма Новикова для решения обратной двумерной задачи рассеяния // Акуст. журн. 2009. Т. 55. № 6. С. 784–798.
  22. Буров В.А., Вечерин С.Н., Морозов С.А., Румянцева О.Д. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 4. С. 516–536.
  23. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во Московского ун-та, 1993.
  24. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: ГИТТЛ, 1951.
  25. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. К численному решению обратной многочастотной задачи скалярной акустики // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2020. Т. 60. № 6. С. 1013–1026.
  26. Бакушинский А.Б., Леонов А.С. Быстрый алгоритм решения трехмерной обратной многочастотной задачи скалярной акустики с данными в цилиндрической области // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2022. Т. 62. № 2. С. 289–304.
  27. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. Изд. 2. М.: КУРС, 2017.
  28. Леонов А.С. Решение некорректно поставленных обратных задач: Очерк теории, практические алгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. Изд. 2. М: Либроком, 2013.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Пример функции источника F0(x, t) при фиксированном x.

Скачать (18KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Геометрическая схема регистрации данных обратной задачи: X – область акустических неоднородностей, Y – область регистрации данных uk(x, ω), звездочки – возможные положения источников поля.

Скачать (23KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Модельная геометрическая схема зондирования. Движущаяся неоднородность представлена в дискретные моменты времени как поверхности уровня функции δc(x, t) (на уровне 0.5 от ее максимального значения). Звездочками условно показано расположение источника.

Скачать (25KB)
Метаданные
5. Рис. 4. (а) – Сравнение точного решения и приближенного решения для точных данных (δ = 0). (б) – Приближенные решения для возмущенных данных с δ = 10–6 и δ = 10–4.

Скачать (41KB)
Метаданные
6. Рис. 5. (а) – Сравнение точной траектории (сплошная линия) и найденных приближенных траекторий (линия с кружками): (а) – для невозмущенных данных (δ = 0), (б) – для возмущенных данных с δ = 10–6.

Скачать (33KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Сравнение (а) – точного и (б) – приближенного решения для точных данных.

Скачать (24KB)
Метаданные
8. Рис. 7. Приближенные решения для разных уровней ошибок данных: (а) – δ = 10–6, (б) – δ = 10–4.

Скачать (31KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024